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terça-feira, 2 de outubro de 2012

TEXTO 149 - O JOGO DE XADREZ E A IDENTIFICAÇÃO DE PADRÕES - PARTE 1.

PESQUISADO E POSTADO, PELO PROF. FÁBIO MOTTA (ÁRBITRO DE XADREZ).

REFERÊNCIA:
http://ludicum.org/MR/textos/ArtigoSPM.pdf
http://pt.wikipedia.org/wiki/Cavalo_(xadrez)


O jogo de xadrez e a identificação de padrões.
Dores Ferreira
doresferreira@gmail.com
LIBEC/CIFPEC, Instituto de Estudos da Criança da Universidade do Minho
Pedro Palhares
palhares@iec.uminho.pt
LIBEC/CIFPEC, Instituto de Estudos da Criança da Universidade do Minho
Resumo
Neste artigo apresentamos o contexto e os resultados de um estudo com crianças do 3.º
ao 6.º ano do ensino básico sobre a relação entre o xadrez e a resolução de problemas
envolvendo padrões numéricos e geométricos. Como resultado principal do estudo
verificamos a existência de uma relação entre a força de jogo e a capacidade de resolver
problemas com padrões. Incluímos na parte inicial uma análise do xadrez enquanto contexto
para problemas de matemática elementar, podendo assim inferir-se a riqueza em termos
históricos.
Palavras-chave
Jogos de estratégia; Xadrez; resolução de problemas; padrões; ensino básico;
investigação correlacional
Abstract
In this paper we present context and results from a study, with 3rd to 6th grades
children, about the relationship between chess and problem solving involving geometric and
numeric patterns. The main result of this study is the existence of a relation between play
strength and patterns problem solving. We have included in the beginning an analysis of chess
as a context for elementary mathematics problems, showing that way its richness historically. 2 Keywords
Strategy games; Chess; Problem solving, Patterns; Primary and middle school;
Correlational study.
Introdução
A procura, visualização e construção de padrões numéricos e geométricos é referida
como uma importante estratégia tanto para a resolução de problemas como para o
desenvolvimento do pensamento pré-algébrico. Nesse sentido, os  Principles and  Standards
for school mathematics apontam para a utilização de actividades que envolvam padrões desde
o 1.º Ciclo do Ensino Básico, incluindo o Ensino Pré-escolar (NCTM, 2000).
Por sua vez, os jogos de estratégia, entre os quais o jogo de xadrez, são referenciados
no programa curricular da área de Matemática por desenvolverem capacidades necessárias à
construção do conhecimento matemático, nomeadamente para a resolução de problemas, e por
constituírem um importante factor de crescimento emocional e social.
Neste artigo apresentamos um estudo que envolve crianças do 1.º  e  2.º  Ciclos  do
Ensino Básico, onde se procura a existência de alguma relação entre o jogo de xadrez e os
padrões.
Padrões e jogos de estratégia – referências curriculares
Algumas orientações do Currículo do Ensino Básico e do NCTM, referem a
identificação de padrões e a utilização de jogos de estratégia, nas aulas de matemática, como
recursos facilitadores de aprendizagem (DEB, 1998, 2001; NCTM, 1991).
Keith Devlin (2002, p.12) define a matemática como sendo "a ciência dos padrões".
Num paralelismo à afirmação de Devlin, as Competências Essenciais para o Ensino Básico
definem a matemática como " a ciência das  regularidades" (DEB, 2001, p.58). Neste
documento, verifica-se a ênfase na identificação e exploração de padrões, pela sua abordagem
contínua em vários domínios: números e cálculo, geometria e álgebra e funções. Para cada um
desses domínios salientam-se, respectivamente, as competências matemáticas a desenvolver

 National Council of Teachers of Mathematics 3
                                             
no Ensino Básico: "a predisposição para procurar padrões numéricos em situações
matemáticas e não matemáticas" (Ibidem, p.60); " a aptidão para procurar e explorar padrões
geométricos" (Ibidem, p.62); " a predisposição para procurar padrões e regularidades e para
formular generalizações em situações diversas, nomeadamente em  contextos numéricos e
geométricos" (Ibidem, p.66).
Os jogos aparecem referidos no programa de Matemática aliados à resolução de
problemas atendendo a que podem facultar às crianças "questões interessantes para resolver e
que constituem verdadeiros problemas à medida da sua idade" (Ibidem, p.174). O jogo de
xadrez aparece como um dos jogos que favorecem "a capacidade de aceitar e seguir uma
regra; o desenvolvimento da memória; a agilidade do raciocínio;  o  gosto  pelo  desafio;  a
construção de estratégias pessoais" (Ibidem, p.175), salientando a importância dos jogos de
estratégia no desenvolvimento de competências necessárias à resolução de problemas.
Paralelamente, o documento que define as competências gerais e  essenciais para o Ensino
Básico refere que os jogos de estratégia contribuem para o desenvolvimento de capacidades
matemáticas, aliando o raciocínio, a estratégia e a reflexão com o desafio e a competição de
uma forma lúdica muito rica (DEB, 2001). As crianças gostam de  jogar e os professores
devem aproveitar a emotividade gerada pelo jogo para optimizar as aprendizagens.
Investigações sobre xadrez
Alguns estudos neste campo referem o xadrez como um jogo que promove a
aprendizagem da matemática, nomeadamente no que concerne à resolução de problemas, e
que aumenta a memória, a concentração, os  scores nos testes de QI e a capacidade de
identificar padrões (Liptrap, 1998; Dauvergne, 2000).
Investigações sobre o efeito do jogo de xadrez em crianças, revelam que os jogadores
de xadrez desenvolvem maior pensamento crítico, autoconfiança,  auto-estima, concentração,
empatia (Stefurak, 2003) e a capacidade de resolver problemas (Dauvergne, 2000).
Vários estudos revelam que jogar xadrez implica a utilização de pensamento lógico,
promovendo-o e desenvolvendo-o (Ippolito, s.d.). Também o professor de xadrez Jan Brandt
refere o xadrez como sendo provavelmente o melhor jogo para desenvolver o pensamento
lógico (Graham, s.d.).

 Estas siglas são vulgarmente utilizadas para indicar o Quociente de Inteligência, pelo que se utilizará
sempre QI para nos referirmos a esse quociente. 4
Jeffrey Chesin considera a existência de uma relação entre a matemática e jogar
xadrez. Os bons jogadores de xadrez são provavelmente bons em matemática ou em qualquer
situação que envolva a resolução de problemas. No entanto, bons alunos de matemática não
são necessariamente bons jogadores de xadrez (Graham, s.d.). Um estudo feito no Canadá
refere que, utilizando o xadrez no ensino da lógica aumenta-se de 62% para 81% a capacidade
de resolução de problemas (Liptrap, 1998).
Um outro estudo na Califórnia revela que a performance académica melhora
sensivelmente após vinte dias de jogo de xadrez (Brenda, 2003).
Fergunson foca um estudo feito na Venezuela que relaciona a melhoria dos scores de
QI após 4,5 meses de estudo sistemático de xadrez. O resultado deste estudo levou a que o
governo venezuelano implementasse aulas de xadrez nas escolas, desde 1988/89 (Dauvergne,
2000).
Levanta-se uma questão: O xadrez torna as crianças inteligentes ou são as crianças
inteligentes que jogam xadrez? (Brenda, 2003).
Um estudo feito por Murray Thompsom (2003), revela não haver um efeito
significativo entre jogar xadrez de competição e melhor performance académica, referindo
que os melhores alunos tendem a ter melhores níveis de QI. No entanto, refere a possibilidade
de jogar xadrez ter contribuído para o QI dos estudantes, sendo o benefício de jogar xadrez
absorvido pela variável QI. Este autor afirma, ainda, que jogar xadrez de competição exige
uma grande capacidade de concentração, a capacidade de pensamento lógico e a capacidade
de imaginar possíveis posições das peças, ajudando a desenvolver capacidades visuais e
espaciais. Ora, a teoria da aprendizagem da geometria proposta  por van Hiele refere cinco
níveis de compreensão, sendo o primeiro, o nível da  visualização, onde as crianças
compreendem as figuras pela sua aparência. Sabemos que cabe ao professor ajudar os alunos
do 1.º Ciclo a progredir do nível visual para o nível da análise (segundo nível de van Hiele),
propondo actividades que desenvolvam a capacidade de visualização (Ponte & Serrazina,
2000). Aliás, o Ministério da Educação, numa reflexão participada sobre os currículos do
Ensino Básico, propõe o desenvolvimento da visualização espacial como uma das
capacidades fundamentais a desenvolver nos alunos (Abrantes, Serrazina & Oliveira, 1999).
Sendo assim, será o xadrez um meio para este desenvolvimento.
O neurologista Alexandre Castro Caldas (2006, p.37) afirma que  "é fundamental
treinar a memória das crianças" uma vez que quanto maiores são os estímulos, maior é a
flexibilidade cerebral. O autor refere ainda que o facto de uma criança decorar os afluentes
dos rios proporciona-lhe uma matriz que lhe poderá ser útil mais tarde para decorar os ramos
das artérias do corpo humano, por exemplo. Possivelmente, decorar padrões de jogadas de 5
xadrez proporcionará também uma matriz certamente útil a futuras necessidades de utilização
da memória.
Segundo John Artise, os estímulos visuais são aqueles que melhor ajudam a memória,
fazendo do xadrez um excelente exercício (Ippolito, s.d.). A rapidez da percepção visual
requer fixação múltipla e codificada, sendo importante a capacidade de codificar a informação
e identificar os locais relevantes para focalizar a atenção. Jogadores de xadrez experientes
conseguem memorizar a posição de um maior número de peças do que jogadores menos
experientes (Charness, Reingold, Pomplun & Stampe, 2001).
O xadrez e a resolução de problemas
A resolução de problemas de xadrez, como por exemplo dar mate num ou dois lances,
é utilizada como uma estratégia de aprendizagem e aperfeiçoamento dos jogadores de xadrez
(Rocha, 2005).
Analisando alguns livros de xadrez verificamos que é comum o recurso à resolução de
problemas. Estes problemas baseiam-se nos finais de partida, nas aberturas e no jogo médio.
Segundo Wood (1972) os problemas de xadrez aparecerem por volta do ano 800. Este facto é
corroborado pela historiadora Cármen Romero (2006), referindo que nos finais do século
XVIII aparecem documentos onde são descritas coleções de problemas de xadrez. A
utilização de problemas de xadrez já se encontrava fortemente presente no livro de Damiano,
impresso em 1512, com 72 problemas. Nesta obra, Damiano escreve alguns conselhos que
ainda hoje se ouvem aos professores de xadrez:
- não jogues depressa;
- quando vires uma boa jogada procura uma melhor,
- nenhuma jogada deve ser feita ao acaso (Wood, 1972,  p.788).
Relativamente ao primeiro conselho acima enunciado, um professor de xadrez
mandava colocar as mãos debaixo da mesa no fim de cada jogada do adversário no sentido de
obrigar os jogadores a pensarem melhor antes de tocarem na peça a jogar.
O movimento das peças de xadrez produz padrões específicos de cada peça e de
acordo com a casa que ocupa no tabuleiro. Como exemplo apresentamos padrões formados
pelo cavalo e pela dama. (Figura 1). Estes padrões são muito úteis para uma mais rápida
identificação da situação do jogo, ou seja das possíveis jogadas de cada jogador.


Cavalo (xadrez)

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.

O Cavalo no modelo Staunton.
cavalo é uma peça menor do xadrez ocidental de um valor aproximado de três peões. Tem um movimento assemelhado a um "L" e, diferente das outras peças, pode pular as peças intervenientes, captura tomando a casa ocupada pela peça adversária.
No início de uma partida, cada jogador tem duas peças que são dispostas nas colunas b e g, na primeira fileira para as brancas e na oitava para as pretas. A peça é mais ativa no centro ampliadoonde pode atacar mais casas do que no canto e é a única que não consegue perder um tempo e em função disso não consegue evitar posições de zugzwang. Jogadores inexperientes normalmente temem o cavalo por não compreender o modo excêntrico de seu movimento, sendo pegos de surpresa com a tática do garfo. Ao final da partida, sua vantagem nem sempre é o suficiente para garantir a vitória por conseguir atravessar o tabuleiro em um só movimento embora seja um bombloqueador de peões.
A peça é utilizada em praticamente todas as variantes do xadrez, normalmente na mesma posição da versão ocidental, sempre com o mesmo movimento característico e o nome ligado ao animalcavalo. O nightrider é uma peça que tem o seu movimento semelhante ao cavalo tendo sido criada para utilização em problemas de xadrez.

Índice

  [esconder

[editar]Origem e etimologia

Uma das lendas que acompanham a criação do jogo conta que o brâmane Sissa criou o "chaturanga", predecessor mais antigo do xadrez, a pedido do Rajá indiano Balhait. Sissa tomou por base as figuras do exército indiano, e incluiu o Cavalo como forma representativa da cavalaria e do papel que esta desempenhava nos exércitos durante a guerra.[1] De acordo com relatos gregos, esta era a composição do exército indiano desde o Séc. IV a.C. A palavra chaturanga, que nomeou a primeira versão do jogo, tem o significado ligado às partes do exército no Ramáiana e no Mahabharata no qual o exército é expressamente chamado de hasty-ashwa-ratha-padatam do qual ashwa[nota 1] é a palavra em sânscrito para o animal cavalo.[3]
No idioma persa a peça era denominada Asp e no árabe Faras, ambas com o mesmo significado que em sânscrito. Na Espanha e em Portugal a peça reteve o significado em sânscrito original, entretanto na FrançaItália e Reino Unido seu significado foi alterado de modo a representar a cavalaria, influenciado por moralidades medievais que utilizavam o jogo como metáfora para retratar a sociedade. Na lingua alemã a peça adquiriu uma nomenclatura diferente onde é denominada Springer que significa saltador.[4] A denominação da peça pela Ásia tem o mesmo significado sânscrito sendo os nomes China e Coréia ma e no Japão Kei-ma. Em BurmaMalásia e Java, os nomes são myinkuda e jaran respectivamente.[5]

[editar]Arqueologia

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Exemplos de cavalos em conjuntos de peças Lewis(esquerda) e peças Staunton (direita).
Os artefatos mais antigos encontrados são do conjunto das peças de Afrasiabdo qual foram encontrados dois cavalos. As peças têm aproximadamente três centímetros de altura e tem o formato de um guerreiro armado montado.[6]
Desenhos mais simples e estilizados foram desenvolvidos pelos muçulmanos seguindo a proibição do islamismo de representar figuras vivas. No conjunto daspeças de Ager, o Cavalo é um bloco cilíndrico com inscrições nas laterais.[7] No continente europeu, o conjunto de peças de Carlos Magno encontrado naBasílica de Saint-Denis no século XIII, contém três cavalos em marfim representados por guerreiros com espada e escudo montados.[8] O formato atual amplamente conhecido da peça foi criado por volta do século XV na Europa e foi motivado pelo início do renascentismo no qual os artesãos representaram na peça a revalorização da cultura clássica, adotando um desenho baseado emesculturas da Grécia Antiga.[9]
No conjunto de Peças de Lewis, datados do século XII e encontrados na Ilha de Lewis nas Hébridas Exteriores da Escócia,[10] foram encontrados quinze cavalos, representados com uma lança na mão direita e um escudo na outra.[11]

[editar]Movimento e valor relativo

Começo de um tabuleiro de xadrez.abcdefgh
8bispo preto em f8cavalo preto em g8torre preta em h88
7círculo preto em e7peão preto em f7peão preto em g7peão preto em h77
6círculo preto em f6círculo preto em h66
5círculo preto em b5círculo preto em d55
4círculo preto em a4círculo preto em e44
3cavalo branco em c33
2círculo preto em a2círculo preto em e22
1círculo preto em b1círculo preto em d11
abcdefghFim do tabuleiro de xadrez.
As casas assinaladas indicam onde o movimento é permitido.[12]
Na posição inicial das peças sobre o tabuleiro, cada jogador tem a sua disposição dois cavalos, posicionadas em b1 e g1, para as brancas, e sobre b8 e g8, para as pretas,[13]Conforme estabelece a FIDE, o Cavalo deve ser representado pela letra C nos países lusófonos nas notações algébricas de xadrez, que devem ser utilizadas em torneios oficiais. Em periódicos e na literatura, recomenda-se a utilização de figuras ou diagramas (Chess nlt45.svg e Chess ndt45.svg)[14]
O movimento o Cavalo permaneceu praticamente inalterado ao longo da história do xadrez,[15] podendo-se mover para a casa mais próxima de onde está desde que não seja na mesma colunadiagonal ou fileiras do Tabuleiro, com o formato característico da letra L, podendo pular peças intervenientes.[12] A peça é mais ativa no centro ampliadoonde pode atacar oito casas e menos efetivo nos cantos onde pode atacar de duas a seis casas. O cavalo é a única peça que não consegue perder um tempo, ou seja, consegue se mover de b5 para b6 em um número ímpar de movimentos mas nunca num número par de movimentos em função disso, a peça não consegue evitar posições dezugzwang.[15]
Usualmente, o valor relativo do Cavalo é estimado em aproximadamente três pontos em relação ao valor de referência de um Peão. Entretanto nos finais o valor pode ser inferior a 2½ pontos, em parte porque o lado com o Cavalo não pode vencer se o último peão aliado tiver sido capturado. [16]
Um Cavalo têm aproximadamente o mesmo valor relativo do Bispo, entretanto dois cavalos são normalmente meio pontos menos valiosos que o par de bispos.[16] Jogadores inexperientes normalmente temem o cavalo por não compreender o modo excêntrico de seu movimento, sendo pegos de surpresa com a tática do garfo.[17] Por outro lado, jogadores experientes como Tigran Petrosianpreferem a peça pela superioridade sobre o bispo em determinadas posições. Além disso, os cavalos não sofrem da fraqueza da cor o que permite alcançar todas as casas do tabuleiro, apesar do bispo ser capaz de empregar táticas como o espeto e a pregadura sendo o cavalo incapaz de realizar ambas.[18] Em outras variantes do xadrez este valor relativo pode ser diferente. No xadrez chinês um cavalo é mais valioso que dois bispos enquanto no japonês dois cavalos são menos valiosos que um bispo.[16]
troca de um Cavalo por uma Torre é denominada um ganho da qualidade. Embora a diferença relativa seja de dois peões, alguns jogadores como Tigran Petrosian acreditam que a diferença seja menor entre 1 e 1½. [16] A troca de um Cavalo por um Bispo, é denomida qualidade menor, termo cunhado por Siegbert Tarrasch.[19] Em certas posições, um bispo pode também perder um tempoatravés de um movimento de espera evitando assim posições de Zugzwang sendo o cavalo incapaz de realizar esta tática.[20]

[editar]Estratégia

Por ser uma peça de curto alcance, o cavalo deve ser empregado no centro do tabuleiro no qual pode se movimentar por mais casas. Na primeira e segunda fileiras, é considerado uma peça defensiva o qual deve ser movida para a terceira e quarta fileira onde pode tanto atacar quanto defender com facilidade. Na quinta e sexta fileira, sua posição é agressiva e deve ser baseada em pontos de apoio onde não pode ser atacado por peões adversários, ou se o for enfraqueça as defesas adversárias.[21]
Em posições fechadas o cavalo é um excelente bloqueador de peões adversários, pois ao contrário das outras peças, seu movimento não é limitado pelo peão adversário nem pela ausência de colunas ou diagonais abertas necessárias para a movimentação do Bispo e Torre.[21]
Em finais com somente um peão, a vantagem de um cavalo nem sempre é suficiente para garantir a vitória principalmente se o peão estiver na coluna a ou h. Neste caso a incapacidade de perder um tempo não permite que o próprio Rei afaste o adversário poroposição, garantindo assim a vitória. Em outras situações com um peão para cada lado, o Cavalo somente será útil se for capaz de defender seu próprio peão numa fileira inferior e o seu Rei puder capturar o peão adversário, ou se o Rei puder defender seu peão e o Cavalo capturar peão adversário sem afogar o Rei adversário.[22]

[editar]A figura do Cavalo em outras variantes

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À esquerda, vê-se um Keima, figura japonesa do Shogi; ao meio, a figura dos cavalos vermelho e preto no Xiangqi; por fim, à direta, uma representação do Nightrider, uma peça de xadrez feérica.
Na variante chamada de cavalomate o Cavalo tem a função de peça real devendo ser capturado para vencer o jogo. Utiliza-se somente um cavalo por jogador, que ocupa a casa que normalmente seria do Rei, e utiliza-se dois reis que podem ser capturados normalmente nas casas que seriam ocupadas pelo Cavalo.[23] Na China e Coréia o cavalo não pode saltar outras peças devendo a casa interveniente precisa estar desocupada, ou seja, um ma eme5 só pode se mover para c4 ou c6 se a casa d5 estiver desocupada. No Japão o movimento é restrito as duas casas mais avançadas, ou seja, um kei em g1 pode-se mover somente para f3h3.[5][24] A peça também pode ser promovida no shogi (xadrez japonês) no qual perde a capacidade de saltar passando a se movimentar como o General de Ouro (kinshō).[25]
nightrider é uma peça que tem o seu movimento semelhante ao cavalo, tendo sido inventada por W. S. Andrews em 1907 para utilização em problemas de xadrez. Um nightrider em a1 pode-se mover para c2e3 e g4 ou em outra linha para b3c5 e d7 podendo pular as peças intervenientes exceto as localizadas no ponto onde passa.[26]

[editar]O passeio do cavalo


Solução "fechada" para o problema, apresentada pelo autômato O Turco.
O passeio ou problema do cavalo, é um famoso problema de xadrez envolvendo o percurso da peça por todo o tabuleiro de xadrez, seguindo as regras do jogo de se movimentar em forma de L, e passando por todas as casas exatamente uma vez em movimentos consecutivos.[27]
O exercício tem pouco a ver com o xadrez e existe a possibilidade de anteceder o jogo e o movimento do cavalo ter sido retirado do problema.[28] É mencionado no trabalho Kavyalankara de Rudrata por volta do século IX, no qual a solução é restrita a metade do tabuleiro, e no quinto livro deBhagavantabháskara escrito por volta do Séc. XVI que contém uma seção sobre o xadrez.[27] O problema despertou o interesse de vários matemáticos incluindo o suíço Leonhard Euler que descreveu um método matemático para solução do problema.[29]
Existem algumas soluções com um refinamento matemático no qual ao somar os algarismos das ordens dos movimentos nas colunas e fileiras o resultado é 260, sendo este tipo de solução proposto inicialmente por Carl Jaenischem 1862.[28] Outro refinamento apresentado no trabalho de Rudrata consiste em um poema no qual quando a leitura é realizada diretamente, ou seja como se não houvesse tabuleiro, é o mesmo poema que quando lido de acordo com as regras de movimentação da peça.[30]
Commons possui uma categoriacom multimídias sobre Cavalo (xadrez)

Notas

  1.  The London Encyclopaedia de 1839 menciona a palavra Aswa com o mesmo significado.[2]

Referências

  1.  Lasker (1999), pp.29, 30
  2.  The London Encyclopaedia, Or, Universal Dictionary of Science, Art, Literature, and Practical Mechanics (em inglês). Londres: [s.n.], 1839. 572-573 p. ISBN 978-1143301612. Página visitada em 16/04/2010.
  3.  Murray (1913), p.43-44
  4.  Willians (2000), p.26-33
  5. ↑ a b Murray (1913), p.98, 111, 127,136,142
  6.  Willians (2000), p.15-16
  7.  Calvo, Ricardo (2001). The Oldest Chess Pieces in Europe(em inglês). Página visitada em 10/08/2010.
  8.  The so-called Charlemagne Chessmen. Página visitada em 31/12/2009.
  9.  Willians (2000), p.40-41
  10.  Chess: Introduction to Europe (Encyclopedia Britannica 2007)
  11.  Robinson, James (2004), The Lewis Chessmen, British Museum Press, pp. 28-29
  12. ↑ a b Appendix:Laws of Chess, Article 3, Item 3.3 (em inglês). Página visitada em 19/01/2010.
  13.  Laws of Chess (em inglês). Página visitada em 19/01/2010.
  14.  Appendix:Laws of Chess (em inglês). Página visitada em 19/01/2010.
  15. ↑ a b Hooper (1992), p.203-204
  16. ↑ a b c d Kaufman, Larry (1999). The Evaluation of Material Imbalances. Chess Live.
  17.  Seirawan (2008), p.26
  18.  Hooper (1992), p.374
  19.  Hooper (1992), p.260
  20.  Hooper (1992), p.235
  21. ↑ a b Seirawan (2006), p.41-46
  22.  Seirawan (2003), p.206-212
  23.  Regras do Cavalomate (em inglês). Página visitada em 02/01/2010.
  24.  Hooper (1992), p.246
  25.  Murray (1913), p.143
  26.  Hooper (1992), p.271
  27. ↑ a b Sunnucks (1976), p.263-264
  28. ↑ a b Hooper (1992), p.204
  29.  O percurso do cavalo no Xadrez. Superinteressante. Página visitada em 24/05/2011.
  30.  Murray (1913), p.54

[editar]Bibliografia

  • GOLOMBEK, Harry. Golombek's Encyclopedia of chess (em inglês). 1ª ed. São Paulo: Trewin Copplestone Publishing, 1977. ISBN 0-517-53146-1
  • HOOPER, David & WHYLD, Kenneth. The Oxford Companion to Chess (em inglês). 2ª ed. Inglaterra: Oxford University Press, 1992.ISBN 0-19-866164-9
  • LASKER, Edward. História do xadrez. 2ª ed. São Paulo: IBRASA, 1999. ISBN 85-348-0056-1
  • MURRAY, H.J.R.. A History of Chess (em inglês). 1ª ed. Oxford: Clarendon Press, 1913. ISBN 0936317019
  • SEIRAWAN, Yasser & SILMAN, Jeremy. Xadrez Vitorioso: Aberturas. 1ª ed. São Paulo: Artmed, 2008. ISBN 9788536313634
  • SEIRAWAN, Yasser & SILMAN, Jeremy. Xadrez Vitorioso: Estratégias. 1ª ed. São Paulo: Artmed, 2003. ISBN 9788536306513
  • SEIRAWAN, Yasser & SILMAN, Jeremy. Xadrez Vitorioso: Táticas. 1ª ed. São Paulo: Artmed, 2006. ISBN 8536306645
  • SUNNUCKS, Anne. The Encyclopaedia of Chess (em inglês). 2ª ed. Inglaterra: St Martin Press, 1976. ISBN 0709146973
  • WILLIANS, Gareth. Master Pieces (em inglês). 1ª ed. Londres: Quintet Publishing Limited, 2000. ISBN 0670893811

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